Métodos potenciales de prospección, FCAG, 2024.
Consideremos una anomalía magnética escalar de intensidad total (TFA) fuerte y con extensión considerable, $\Delta T$, medida sobre una superficie completamente horizontal y lejos del ecuador terrestre. La operación de la reducción al polo (reduction to the pole, RTP) de $\Delta T$ en el dominio de Fourier adopta la siguiente expresión
\begin{equation} \mathcal{F}[{\Delta}T_r] = \mathcal{F}[\color{blue}{\psi_r}]\,\mathcal{F}[{\Delta}T], \end{equation}donde $\Delta T_r$ es la anomalía reducida al polo, $\color{blue}{\psi_r}$ la respuesta impulsiva del filtro de reducción al polo y $\mathcal{F}[\cdot]$ la transformada de Fourier 2D.
La aplicación del filtro de reducción al polo consta de los siguientes pasos: obtener la transformada discreta de Fourier del dato de entrada $\mathcal{F}[\Delta T]$, calcular la transformada discreta de Fourier del operador de reducción al polo $\mathcal{F}[\psi_r]$, realizar el producto y antitransformar para obtener la anomalía reducida al polo $\Delta T_r$.
$\Delta T_r$ representa la anomalía que sería medida en el polo magnético norte, donde tanto la magnetización inducida y el campo ambiental son verticales y en dirección hacia el interior terreste. El operador $\mathcal{F}[\psi_r]$ reemplaza el efecto que la inclinación y declinación de la magnetización y del campo ambiental tienen sobre $\Delta T$, por el efecto producido por la inclinación y declinación de estos campos para el polo norte, asumiendo magnetización puramente inducida. Cuando las inclinaciones magnéticas son pequeñas (e.g., inclinaciones menores a 15$^\circ$), es preferible utilizar otra metodología (e.g., reducción al ecuador).
La respuesta en frecuencia del filtro de reducción al polo viene dada por
$$\mathcal{F}[\psi_r] = \dfrac{1}{\Theta_m \Theta_f},$$siendo, para $||\mathbf{k}||{\neq}0$,
\begin{align} \begin{split} \Theta_m &= \hat{m}_z + i\frac{\hat{m}_xk_x+\hat{m}_yk_y}{||\mathbf{k}||}, \\ \Theta_f &= \hat{f}_z + i\frac{\hat{f}_xk_x+\hat{f}_yk_y}{||\mathbf{k}||}. \label{eq:thetas} \end{split} \end{align}Las expresiones $\Theta_m$ y $\Theta_f$ son funciones complejas que dependen de la orientación de la magnetización y del campo magnético ambiental. Notemos que el filtro modifica la amplitud y la fase del dato de entrada. Los vectores $\mathbf{\hat{m}}=(\hat{m}_x,\hat{m}_y,\hat{m}_z)$ y $\mathbf{\hat{f}}=(\hat{f}_x,\hat{f}_y,\hat{f}_z)$ son unitarios ($||\mathbf{\hat{m}}||=||\mathbf{\hat{f}}||=1$) y apuntan en la dirección de la magnetización y del campo magnético ambiente, respectivamente.
Leemos el dato sintético del campo de anomalía total $\Delta T$ en unidades de nT. Como el dato es sintético, conocemos la declinación ($D_m=-20^\circ$) e inclinación ($I_m=-30^\circ$) del vector magnetización, y la declinación ($D_f=+23^\circ$) e inclinación ($I_f=-60^\circ$) del campo principal.
Leemos el archivo con el dato sintético:
x, y, TFA = np.loadtxt("sintetico_RTP.dat") # [m], [m], [nT]
nx,ny = 100, 100
TFA = TFA.reshape(nx,ny)
...
plt.imshow(TFA)
...
Número de observaciones: 100 dx [m]: 141.41414141414143 , dy [m]: 141.41414141414143 , nx: 100 , ny: 100 , N: 10000
Procedemos a graficar:
Realizamos la redución al polo:
I_m, D_m = -20, -30 # dirección de la magnetización [grados]
I_f, D_f = +23, -60 # dirección del campo principal [grados]
TFA_r = RTP(TFA, D_m, I_m, D_f, I_f,...) # [nT]
Representamos gráficamente los resultados e interpretamos.
Como observamos del resultado, la reducción al polo simplifica la forma de la anomalía, volviéndola simétrica, facilitando su posterior interpretación.
A continuación representamos los números de onda involucrados y el operador de reducción al polo. Estos gráficos son parte de la verificación previa al procesamiento. Con esto evaluamos si las subrutinas han sido construidas satisfactoriamente.
Graficamos los módulos de las funciones $\Theta_m$ y $\Theta_f$, así como también el espectro de amplitud del operador $\mathcal{F}[\psi_r]$.
Graficamos de forma interactiva para distintos valores de la inclinación y declinación ($D_m$,$I_m$) del vector de polarización magnética y del campo principal ($D_f,I_f$), respectivamente.
Es instructivo observar como arribamos al resultado de la RTP, la cual sucede cuando los ángulos involucrados coinciden con los de la anomalía sintética generada. Si los ángulos involucrados no son similares a las direcciones de los campos que generan la anomalía, no obtenemos una anomalía RTP simétrica y centrada sobre el cuerpo prospectado. Esta observación puede ser utilizada, por ejemplo, para constrastar resultados obtenidos para la dirección de la magnetización dados por un proceso de optimización.
También podemos observar que el filtro arroja resultados indeseables cuando las inclinaciones son horizontales: $I_m, I_f < 15^\circ$.
interactive(children=(FloatSlider(value=-20.0, description='$D_m$ [$^\\circ$]', max=40.0, min=-40.0, step=10.0…
Eso es todo por hoy.
V. Baranov y H. Naudy, 1964, Numerical calculation of the formula of reduction to the magnetic pole, Geophysics, 29:1, 67-79, doi: https://doi.org/10.1190/1.1439334
Pierre Keating y L. Zerbo, 1996, An improved technique for reduction to the pole at low latitudes, Geophysics, 61:1, 131-137, doi: http://dx.doi.org/10.1190/1.1439334.
El dato sintético está tomado del siguiente ejemplo, para lo cual se utiliza el paquete open-source Fatiando a Terra de modelado e inversión en geofísica de Uieda et al. (2013):