Ejemplo sencillo del cálculo de derivadas por medio de la TDF

Métodos potenciales de prospección, FCAGLP, 2020.

MPP-2020.

Por medio de la TDF obtenga la derivada primera respecto del espacio de la señal digital que resulta de tomar muestras equiespaciadas de la señal continua

$$s(x)=\cos\left(k_0 x \right),$$

de una longitud de onda de $\lambda_0=100$ m, en un intervalo que ocupa 500 m de longitud. Considere un intervalo de muestreo $\Delta x$ por debajo del criterio de Nyquist de manera de sobremuestrear adecuadamente la señal. Compare el resultado obtenido con la derivada analítica de la señal original.

Señal discretizada y su derivada

Obtendremos muestras de $s(x)$ considerando $\Delta x=\lambda_0/20$. Observemos que a lo fines de este ejemplo, vamos por debajo del criterio de Nyquist ($\Delta x <\lambda_0/2$) de forma tal de sobremuestrear adecuadamente a la señal.

Calculamos también la derivada $s^{\prime}(x)=\frac{ds(x)}{dx}$ de manera analítica para contrastar con el resultado del procesamiento digital.

Verificamos que $\lambda_0=N\Delta x$:

λ_0= 500.0 m

Cálculo de la derivada por medio de la TDF

La Transformada de Fourier, $\mathcal{F}(k)$, nos permite calcular la derivada por medio de

$$\mathcal{F}\left\{\frac{ds(x)}{dx}\right\} = i k \mathcal{F}\left\{ s(x) \right\}.$$

Como sabemos, en el caso digital utilizamos la TDF para realizar la transformada de Fourier:

$$\text{TDF}\left\{\mathbf{\dot{s}}\right\} = i\: \mathbf{k} \circ \text{TDF}\left\{\mathbf{s}\right\},$$

donde $\circ$ representa el producto elemento por elemento entre dos vectores.

Obtención de número de onda $k$

El paso crucial es obtener correctamente los valores del vector número de onda $\mathbf{k}$. Para revisar si los valores de $\mathbf{k}$ están bien calculados y para facilitar la interpretación, observamos que ningún número de onda digital $\kappa$ en el vector $\boldsymbol{\kappa}$ supere en módulo al número de onda digital de Nyquist $\pi$.

La relación entre número de onda ($k$) y número de onda digital ($\kappa$) es $\kappa = k \Delta x$. El vector de número de onda digital $\boldsymbol{\kappa}$ tiene elementos $\kappa_j$ con valores

$$-\pi \leq \kappa_j <+\pi .$$

Obtención de la derivada

Ahora si, transformamos la señal por medio de la TDF, operamos en el dominio transformado (número de onda) y volvemos al dominio original (espacio).

True

Visualizamos el resultado y comparamos con la solución analítica:

Extra

Observemos que sucede si la señal fuera $s(x)=\cos\left(k x\right)$ con ruido casi imperceptible en el dominio ambiental. Repitiendo el análisis anterior, el resultado muestra como los altos número de onda debido al ruido son amplificados ya que el operador de derivada actúa como pasa altas.

500.0

Nota

Elegimos $\Delta x = \lambda_0/100$ para digitalizar la señal contamidada por ruido aleatorio. El muestreo ahora habilita, al operar con la TDF para derivar, amplificar el ruido de alto número de onda sin aliasing. Esto es asi ya que puedo representar números de onda mucho mayores a la señal de interés, en este caso, las componentes de alto número de onda del ruido.

Como se observó en el ejempo anterior, elegir un intervalo de muestreo mayor (e.g., $\Delta x =\lambda_0/20$) hace que el ruido de alto número de onda entre aliado con bajo número de onda en el resultado.

Para terminar, un widget para interactuar con este efecto:

Eso es todo por hoy.