Estimación de la dirección de magnetización

Métodos potenciales de prospección, FCAG, 2024.

Método de correlación para estimar la dirección de magnetización

Implementamos el método de la correlación de Dannemiller y Li (2006) para estimar la inclinación ($I$) y declinación ($D$) de la magnetización a partir de un mapa de anomalía magnética escalar de intensidad total (TFA). Para ello, debemos calcular:

• la reducción al polo (RTP) de la anomalía TFA;
• la derivada primera vertical y el gradiente total de la RTP;
• la correlación entre los mapas obtenidos en el paso anterior;

para distintos valores de $I$ y $D$.

El máximo en el mapa de correlación $r(I,D)$ indica un valor aproximado a la dirección de magnetización $(I^*,D^*)$ del cuerpo anómalo:

$$\{I^*,D^*\} = \text{argmax}\left\{\:r\,(I,D)\:\right\}.$$

Como señalan los autores, el gradiente total y la derivada primera vertical de la RTP alcanzan simultáneamente un grado mayor de simetría y su correlación se maximiza cuando la dirección de magnetización utilizada es similar a la del cuerpo anómalo.

Derivada vertical

En esta práctica, calculamos los campos de derivadas y de magnitud del gradiente procesando en el dominio de Fourier. Para calcular el mapa de derivada primera vertical utilizamos

$$\mathcal{F}\{\dfrac{{\partial}^{n}\phi}{{\partial}z^n}\}=|k|^{n}\mathcal{F}\{\phi\},$$

con $n=1$. La derivada primera vertical puede también obtenerse de la continuación ascendente.

Gradiente total

El atributo de gradiente total o magnitud,

$$\text{gt}(x,y)=\sqrt{{\partial_x}{\phi}^2+{\partial_y}{\phi}^2+{\partial_z}{\phi}^2},$$

lo obtenemos aplicando las relaciones

$$\mathcal{F}\{\frac{{\partial}\phi}{{\partial}x}\} = ik_x\mathcal{F}\{\phi\},\; \mathcal{F}\{\frac{{\partial}\phi}{{\partial}y}\} = ik_y\mathcal{F}\{\phi\}\; \text{y}\; \mathcal{F}\{\frac{{\partial}\phi}{{\partial}z}\} = |k|\mathcal{F}\{\phi\}.$$

Correlación

De igual manera a la experiencia de estimación de densidad de un rasgo topográfico, la correlación de los mapas de derivada primera vertical y magnitud de la RTP la obtenemos del coeficiente de correlación $r \in [-1,+1]$ entre dos series $\mathbf{x},\mathbf{y}$ :

$$r=r(\mathbf{x},\mathbf{y})=\frac{\sum_k \left(x_k-\overline{x}\right)\left(y_k-\overline{y}\right)}{\sqrt{\sum_k \left(x_k-\overline{x}\right)^2\sum_k\left(y_k-\overline{y}\right)^2 }}.$$

Dado que $\mathbf{x}(I,D)$ e $\mathbf{y}(I,D)$, entonces $r(I,D)$.

Lectura del dato

Leemos el dato sintético del campo de anomalía total (TFA) $\Delta T$ en unidades de nT. Para este dato sintético, el vector magnetización tiene una declinación de $D_m=-20^\circ$ y una inclinación de $I_m=-30^\circ$. La dirección del campo principal es $D_f=+23^\circ$ y $I_f=-60^\circ$.

Número de observaciones:  100
dx [m]:  141.41414141414143 , dy [m]:  141.41414141414143 , nx:  100 , ny:  100 , N:  10000

Método

En un primer análisis, calculamos y visualizamos los mapas de derivada primera y de magnitud de la TFA sintética.

Ahora calculamos y representamos gráficamente los mapas de derivada primera y magnitud para la RTP de la anomalía sintética. Estos son los mapas que utiliza el método de correlación de Dannemiller y Li (2006).

Calculamos la correlación entre los mapas de derivada primera y de magnitud de la RTP de la TFA.

La correlación para I = I_m y D = D_m es:  0.67

Estimación de la dirección de la magnetización

Habiendo revisado los procesamientos que forman al método, procedemos a estimar la dirección de la magnetización de la anomalía sintética analizada. Elegimos un rango de inclinaciones y declinaciones para calcular la correlación entre la RTP y la magnitud del gradiente. Luego aplicamos el método y guardamos los resultados de la correlación $r$ para cada par $(I_k,D_k)$. Por último, graficamos el mapa de correlaciones y la ubicación del máximo obtenido. Comparamos el resultado con la dirección exacta $(I_m,D_m)$.

Mapa de correlación ...
Listo.

Máximo de la correlación              :  0.68
Dirección estimada I* | D* [grados]   :  -38.0 -25.0
Dirección real     I_m  | D_m [grados]:  -30 -20
Error promedio [grados]               :  6.5

Visualizamos el mapa de correlación, la solución obtenida $(I^*,D^*)$ y los ángulos utilizados en la generación del dato sintético.

Eso es todo por hoy.

Referencias

• Neal Dannemiller y Yaoguo Li, 2006, A new method for determination of magnetization direction, Geophysics, 71:6, L69-L73, DOI: 10.1190/1.2356116.

• Jian, X., Liu, S., Hu, X., Zhang, Y., Zhu, D. y Zuo, B., 2022. A new method to estimate the total magnetization direction from magnetic anomaly: Multiple correlation. Geophysics, 87(5), pp.1-74, DOI: 10.1190/geo2021-0733.1.