Métodos potenciales de prospección, FCAG, 2024.
En el dominio transformado de Fourier, la aplicación de un filtro Butterworth viene dada por
\begin{equation} \mathcal{F}[U^f(x,y,z_0)]=\mathcal{F}[b]\mathcal{F}[U(x,y,z_0)], \end{equation}
con
\begin{equation} \mathcal{F}[b]= \dfrac{1}{\sqrt{(1+ (k_{r}/k_{c})^{n}}}, \end{equation}
la transformada bidimensional de Fourier del filtro de paso bajo Butterworth con orden $n$ y número de onda radial de corte $k_{c}$; siendo $k_r=||\mathbf{k}||=\sqrt{k_x^2+k_y^2}$, la norma del vector número de onda. El orden $n$ define lo abrupto de la caida del filtro hacia los $k_r$ altos.
El filtro de Butterworth es muy aplicado en los métodos potenciales de prospección. Aplicar este filtro consiste en definir un orden $n$ y número de onda radial de corte $k_{c}$ adecuados (muchas veces por prueba y error), calcular la transformada discreta bidimiensional de Fourier del dato observado, $\mathcal{F}[U]$, y del filtro, $\mathcal{F}[b]$, hacer el producto y antitransformar.
Nota. No hay un consenso unificado al describir el filtro Butterworth. Por ejemplo, algunos autores utilizan $n$ como el orden, mientras que otros $2\alpha$. Lo mismo sucede con la expresión del filtro, que puede encontrarse sin la raíz cuadrada (como si se aplicara directamente el espectro de potencia).
Graficamos el espectro de amplitud del operador de paso bajo Butterworth $\mathcal{F}[b]$. A fines ilustrativos, consideramos $n=8$ y ubicamos el número de onda adimensional de corte en $\pi/2$.
$\newcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}$ $\newcommand{\versor}[1]{\hat{\mathbf{#1}}}$ $\newcommand{den}{\Delta\sigma}$ $\newcommand{G}{\mathcal{G}}$ $\newcommand{M}{\dfrac{4}{3}\pi\den R^3}$ $\newcommand{cte}{\dfrac{4}{3}\pi\G\den R^3}$
Leemos el dato sintético del campo de anomalía total (TFA) $\Delta T$ en unidades de nT.
Nota. Para hacer evidente el efecto del filtro, sumamos ruido aleatorio a la anomalía. El ruido lo modelamos como una variable aleatoria $r$ que sigue una distribución Gaussiana de media $\mu=0$ y desviación estándard $\sigma$: $r \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma)$. Para este ejemplo, ajustamos $\sigma$ a cierto porcentaje de la amplitud máxima de la anomalía observada.
Una alternativa para generar ruido más realista es aplicar al ruido un pasa bajas o pasa bandas para evitar la situación de ruido blanco dada por
np.random.normal(). Nos decidimos por esta opción aquí.
DT mínimo [nT]: -123.12 DT máximo [nT]: 274.47 DT promedio [nT]: 0.6
Elegimos valores de $n$ y $k_{rc}$ y aplicamos el filtro. Utilizamos $n=8$ y $k_c=\pi/3$ en este ejemplo particular. Otros parámetros son posibles.
Para aplicar el filtro es posible seguir dos caminos equivalentes. Si utilizamos número de onda adimensionales, calculamos el número de onda radial adimensional $k^a_r$ y probamos el filtro para números de onda adimensional de corte $k^a_c$ entre 0 y $\pi$. Por lo general, podemos comenzar por $k^a_c=\pi/2$ y reducimos el valor según el análisis del resultado obtenido y del residuo. De utilizar números de onda (con unidades), entonces calculamos el número de onda radial $k_r$ y probamos el filtro para números de onda de corte $k_c$ entre 0 y $\text{min}\{k^\text{Nyquist}_x,k^\text{Nyquist}_y\}$. En este caso, podriamos comenzar por $k_c=\text{min}\{k_x^\text{Nyquist},k_y^\text{Nyquist}\}/2$ y reducir el valor analizando el resultado obtenido y su residuo.
Filtro Butterworth de paso bajo: orden 8 y corte en k_c adimensional de 1.05:
DT mínimo [nT]: -117.97 DT máximo [nT]: 270.81 DT promedio [nT]: 0.6
Representamos gráficamente los resultados e interpretamos.
¿Se observan en el residuo amplitudes importantes vinculadas a la anomalía?
Eso es todo por hoy.