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Analizamos una forma alternativa de intepretar la multiplicación de matrices como suma de matrices de rango 1. Multiplicamos columnas por filas. Por lo general aprendimos a hacer fila x columna. Esta forma de realizar la multiplicación matricial nos ayudará a entender la factorización SVD, algoritmos de inversión y otras cosas.
Tomamos $A= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ y $B= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$.
Hacemos el producto $A$ por $B$ de las dos formas.
Obtenemos en un solo paso el resultado (no vemos la descomposición en matrices de rango 1):
\begin{equation} C = AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}. \end{equation}Aquí hicimos el producto interno (producto escalar) entre las filas de $A$ y las columnas de $B$: $\mathbf{x}^T\mathbf{y}$.
Obtenemos una sumatoria de matrices de rango 1:
\begin{equation} C = AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}. \end{equation}En este caso, realizamos la siguiente operación:
\begin{equation} C = \mathbf{a}_1\mathbf{b}_1^T + \mathbf{a}_2\mathbf{b}_2^T, \end{equation}donde $\mathbf{a}_j$ es la columna $j$ de $A$ y $\mathbf{b}_j^T$ es la fila $j$ de B:
\begin{equation} AB = \begin{bmatrix} | & | & \cdots & |\\ \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_n\\ | & | & \cdots & | \end{bmatrix} \begin{bmatrix} - & \mathbf{b}_1^T & - \\ - & \mathbf{b}_2^T & - \\ & \vdots & \\ - & \mathbf{b}_n^T & - \\ \end{bmatrix}. \end{equation}Notemos que $\mathbf{x}\mathbf{y}^T$ es el producto externo (outer product). El resultado son matrices de $2\times 2$ en este ejemplo.
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Eso es todo por hoy.