Métodos potenciales de prospección, FCAG, 2024.
Al momento de calcular la TDF 2D, se asume que la imagen o cuadrícula es periódica, lo que raramente es verdad en datos reales. La naturaleza no periódica del dato conduce a artefactos en el dominio de Fourier, conocidos por el nombre de artefactos de borde o errores de terminación.
Estos efectos indeseables pueden ser atenuados durante la etapa de pre procesamiento por medio de reflección o espejado (mirroring), aplicación de ventanas, o agregado de ceros (zero padding).
Por lo general suele aplicarse una ventana en forma de rampa que conduce a los valores fronterizos de la imagen paulatinamente a cero. Para ello pueden aplicarse una ventana triangular (rampa lineal) o una ventana de Hann, entre otros. Otro método habitual es el espejado de la imagen en sus bordes, lo cual conduce a una imagen periódica. Para cuadrículas muy grandes, el espejado puede ser costoso, ya que la imagen original pasa de $N\times N$ a $2N \times 2N$.
La siguiente Figura ilustra el fenómeno. Se cuenta con un campo potencial $\mathbf{\phi}$ en una cuadrícula y se calcula: a) su espectro de amplitud (representado en escala logarítmica), b) el espectro de amplitud que corresponde a los bordes de la cuadrícula y c) el residuo, que es el espectro de amplitud del dato corregido para tener continuidad en su extensión periódica.
En este caso, el dato original es una anomalía magnética sintética. Este mismo dato es empleado en la práctica de derivadas verticales.
Por lo general, puede removerse la tendencia de primer orden considerando todos los puntos de la cuadrícula, o solo aquellos de los bordes. La última opción supone una menor sesgo frente a desviaciones grandes de los campos potenciales en el área relevada. Recordemos que la remoción de tendencia la solemos hacer por mínimos cuadrados, la cual es sensible a valores muy dispares de los datos medidos.
La tendencia removida puede ser incorporada al volver al dominio original, luego del procesamiento.
En el proceso de expansión es sumamente importante no rellenar con valores que introduzcan un escalón entre los bordes de la cuadrícula, ya que esto causará un efecto de Gibbs notable.
El patrón (o mosaico) generado por la cuadrícula en su expansión periódica debe tener bordes suaves en los puntos de contacto. Si los bordes entre cuadrícula no se unen de manera suave, se generarán efectos indeseables al procesar en el dominio transformado. En algunos casos, los valores incorporados en la expansión de la cuadrícula pueden ser atenuados hasta alcanzar el valor 0 en los bordes. Este es el caso convencional de emplear una ventana de Hann (Hannning) en la periferia del dato original.
G = np.loadtxt("preparado_de_cuadriculas.dat)
print("Dimensiones de la cuadrícula: ",G.shape)
plt.title("Dato original")
plt.imshow(G,cmap="coolwarm");
plt.show()
Una vez procesado el dato original, es intructivo recortar el dato de forma tal que un máximo o mínimo de la anomalía toque el borde de una cuadrícula. Los efectos en frecuencia son notables.
Dimensiones de la cuadrícula: (41, 60)
[ 0.05007349 -0.02194737 -1.05518745] True
Cuadrícua cuadrada (potencia de 2) y padding.
True True Dimensiones cuadrícula original: (41, 60) Dimensiones cuadrícula expandida: (128, 128)
True True
Visualizamos la continuidad de la cuadrícula original y de la cuadrícula preparada en el dominio periódico. Luego aplicamos la TDF 2D de la cuadrícula preparada y graficamos su espectro de ampltud.
Calculamos el dato espejado sin agregar ningún otro procesamiento.
Eso es todo por hoy.
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Mahmood, F., Toots, M., Öfverstedt, L.G. and Skoglund, U., 2015. 2D discrete Fourier transform with simultaneous edge artifact removal for real-time applications. International Conference on Field Programmable Technology (FPT), 236-239, IEEE.