Métodos potenciales de prospección, FCAGLP, 2020.
MPP-2020.
$\newcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}$
Soluciones de $A\vec{x}=\vec{b}$ existen si y sólo si $\vec{b} \in \text{Col}(A)$. Es decir, si $\vec{b}$ es una combinación lineal del espacio generado por los vectores que residen en las columnas de A.
En este caso tenemos $A$ ($n\times m$) con $n<m$. La matriz luce como un rectángulo corto y gordo (short and fat). Tenemos más incógnitas ($m$) que ecuaciones ($n$). Por lo general, en este caso tenemos $\infty$ soluciones para $\vec{x}$ dado $\vec{b}$.
Nota. Podemos construir casos donde el sistema no tiene solución, eligiendo $\vec{b}$ de forma tal que no pertenezca a $\text{Col}(A)$. Por ejemplo,
\begin{equation} A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}, \vec{b}= \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}. \end{equation}En este ejemplo no existe $\vec{x}$ ($3\times 1$) tal que $A\vec{x}=\vec{b}$, ya que es imposible que los tres vectores columna de $A$, que apuntan en la misma dirección, generen el vector $(1,2)^T$.
Tendremos $\infty$ soluciones siempre que $\text{dim}(\text{N}(A))\neq 0$. El Núcleo de $A$, $\text{N}(A)$, esta habitado por los vectores que son solución de $A\vec{x}=\vec{0}$. Si hay vectores (distintos del vector nulo $\vec{0}$) en el núcleo de $A$, entonces siempre podemos generar más soluciones al sistema haciendo lo siguiente:
\begin{equation} A(\vec{x}+\vec{x}_{\text{N}(A)}) = A \vec{x} + A\vec{x}_{\text{N}(A)} = \vec{b} + \vec{0} = \vec{b}. \end{equation}Es el caso que más veces observaremos en métodos potenciales. Aquí $A$ ($n\times m$) con $n>m$. La matriz luce larga y delgada (tall and skinny). Tenemos más observaciones (o ecuaciones) ($n$) que incógnitas ($m$).
Por lo general, en este caso no existen soluciones para $\vec{x}$ dado un $\vec{b}$ genérico.
Nota. Podemos construir casos donde el sistema tiene una solución, eligiendo $\vec{b}$ de forma tal que pertenezca a $\text{Col}(A)$. Por ejemplo,
\begin{equation}A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 3 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \vec{b}= \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}. \end{equation}La solución aquí es $\vec{x}=(0,1)^T$.
Como regla general, no esperamos encontrar solución en esos casos sobredeterminados. En otras notebooks veremos que significan entonces la "soluciones" de mínimos cuadrados de estos sistemas, etc.
Basado en video sobre sistemas de ecuaciones