\documentclass[11pt,twoside,a4paper,spanish]{article}
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\newcommand{\vect}[1]{\mathbf{#1}}    % Notación vectorial negrita
% ------------------------------
\begin{document}
\begin{center}\textbf{COMPUTACIÓN 2003 -- ASTRONOMÍA}\end{center}
\begin{center}\textbf{PR\'ACTICA 4}\end{center}
\bigskip

\begin{enumerate}

\item Definiendo la \emph{función de sentencia}
${\rm FUN}(X) = X^2 + \sqrt{1+2X +3X^2}$,
construya un programa en el que, ingresando valores de $Y$, sean
calculadas las siguientes funciones:
\begin{align*}
{\rm ALPHA} =& \frac {6.9+Y}{Y^2 + \sqrt{1+2Y +3Y^2}}\\
{\rm GAMMA} =& \frac {\sin{Y}}{Y^4 + \sqrt{1+2Y^2 +3Y^4}}\\
{\rm DELTA} =& \frac {1}{(\sin{Y})^2 + \sqrt{1+2\sin{Y}+3(\sin{Y})^2}}
\end{align*}


\item a) Hacer un programa que permita calcular el valor del
polinomio de Legendre, ingresando como datos: $x$ y el
número de polinomio a evaluar, utilizando funci\'on de sentencia.

b) Idem utilizando funci\'on externa.

\begin{align*}
P_1 =& 1\\
P_2 =& x\\
P_3 =& \frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{2} \\
P_4 =& \frac{5}{2} x^3 - \frac{3}{2} x \\
P_5 =& \frac{35}{8} x^4 - \frac{15}{4} x^2 + \frac{3}{8} \\
\end{align*}


\item El método de Simpson para calcular integrales definidas de la forma
$ \int_a^b{f(x) dx} $ consiste en dividir el intervalo $[a, b]$ en
$n$ subintervalos (con $n$  par) de longitud $h$, y aproximar la
integral mediante la f\'ormula:
\begin{displaymath}
\int_a^b {f(x) dx } = \frac{h}{3} * (E + 4I + 2P)
\end{displaymath}
donde:

$E = f(a) + f(b)$ es la suma de los valores de $f(x)$ evaluada en
los extremos del intervalo,

$I = f(x_1) + f(x_3) + .... + f(x_{n-1})$ es la suma de los
valores impares de $f(x)$,

$P = f(x_2) + f(x_4) + .... + f(x_{n-2})$ es la suma de los
valores pares de $f(x)$,

con $x_i = a + ih$.

Programar el cálculo de la integral $\int_0^1{e^{-x^2} dx}$ con
un error menor que 0.0001. Imprimir el resultado, y también $h$
y la cantidad de puntos usados.

Chequear el resultado usando $gnuplot$:

(i) graficar la funci\'on en el intervalo, y aproximar visualmente el \'area;

(ii) calcular su valor.


\item Sea el desarrollo de Taylor del $\cos(x)$ en torno a cero:
\begin{gather*}
P_n (x) = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!}
+ .... + \frac{x^n}{n!} \\
| R_n (x) | \leq \frac{|x|^{n+2}}{(n+2)!}
\end{gather*}

a) Hacer un programa para que, dado un $x$, calcule cuántos
términos de la serie son necesarios si se quiere que el error
$|R_n(x)|$ sea menor que 0.0001, y calcule luego $P_n (x)$.
Imprimir como resultado $n$ y $P_n (x)$ (con formato).

b) Idem a) pero en doble precisión.

Utilizar una \texttt{FUNCTION} para el cálculo de factoriales.

$\bullet$ Analizar el resultado  graficando el polinomio usado
y $\cos(x)$ con $gnuplot$.

$\bullet$ Plotear el punto de inter\'es.


\item Aproximación de raíces por Método Dicotómico

a) Dada $f(x)$ buscar dos puntos $x_n$ y $x_p$ donde $f(x)$ tenga
signos diferentes.

b) Calcular el punto medio $x_m=(x_n+x_p)/2$

c) Evaluar $f(x_m)$,

d) Si $f(x_m)=0$ es la ra\'{\i}z, sino hacer
   $x_p=x_m$ en caso de que el signo de $f(x_m)$ sea igual al de $f(x_n)$,
   o $x_n=x_m$ en caso contrario.

e) Volver a b) y si el valor $|x_p-x_n|<\epsilon$  imprimir el
valor aproximado de la raiz $x_m$.

Hallar ra\'{\i}ces de los siguientes polinomios, buscando $x_n$ y $x_p$
iniciales graficando con $gnuplot$.

i) $f(x)=x^3+x^2-37x+33$

ii) $f(x)=x^2-\sin x$

\item Aproximación de raíces por Método Regula Falsi

El método de la Regula
Falsi permite calcular las raíces, mediante la fórmula:
\begin{displaymath}
x_{n+1} = \frac{f(x_n)*x_{n-1} - f(x_{n-1})*x_n}{f(x_n) -
f(x_{n-1})}
\end{displaymath}
siendo $x_{n+1}$ la raíz en la iteración $n-1$.

Escribir un programa para encontrar las ra\'{\i}ces de $f(x) = \cosh(x) - 2x$,
con un error $\epsilon < 0.0001$ ($|x_{n-1} - x_n| < \epsilon$).

Hallar los dos puntos iniciales de arranque graficando.
Imprimir el valor de la
ra\'{\i}z y la cantidad de iteraciones en cada caso (con formato).

\item Rehacer el ejercicio 3 de la Pr\'actica 3, si el vector $B$ se halla
guardado en el archivo {\bf p3e3in.dat}.

\item Rehacer el ejercicio 4 de la Pr\'actica 3, si la matriz $A^{n \times m}$
se halla guardada en el archivo {\bf p3e4in.dat}.

\item Rehacer el ejercicio 5 de la Pr\'actica 3, si la matriz $KA(N,N)$ debe
leerse del archivo {\bf p3e5in.dat}.

\item Rehacer el ejercicio 6 de la Pr\'actica 3, leyendo los valores $f(i)$
 del archivo  {\bf p3e6in.dat}.



\end{enumerate}
\end{document}
