COMPUTACIÓN 2003 – ASTRONOMÍA

PRÁCTICA 4

1. Definiendo la función de sentencia FUN(X) = X^{2} + \sqrt{1 + 2X + 3X^{2}}, construya un programa en el que, ingresando valores de Y, sean calculadas las siguientes funciones:

ALPHA =\frac{6.9 + Y}{Y^{2} + \sqrt{1 + 2Y + 3Y^{2}}}
GAMMA =\frac{sin Y}{Y^{4} + \sqrt{1 + 2Y^{2} + 3Y^{4}}}
DELTA =\frac{1}{(sin Y)^{2} + \sqrt{1 + 2 sin Y + 3(sin Y)^{2}}}

2. a) Hacer un programa que permita calcular el valor del polinomio de Legendre, ingresando como datos: x y el número de polinomio a evaluar, utilizando función de sentencia.

b) Idem utilizando función externa.

P_{1} =1
P_{2} =x
P_{3} =\frac{3}{2}x^{2} − \frac{1}{2}
P_{4} =\frac{5}{2}x^{3} − \frac{3}{2}x
P_{5} =\frac{35}{8}x^{4} − \frac{15}{4}x^{2} + \frac{3}{8}

3. El método de Simpson para calcular integrales definidas de la forma ∫_{a}^{b} f(x)dx consiste en dividir el intervalo [a, b] en n subintervalos (con n par) de longitud h, y aproximar la integral mediante la fórmula:

∫_{a}^{b} f(x)dx = \frac{h}{3} ∗ (E + 4I + 2P)

donde: E = f(a)+f(b) es la suma de los valores de f(x) evaluada en los extremos del intervalo, I = f(x_{1}) + f(x_{3}) + .... + f(x_{n−1}) es la suma de los valores impares de f(x), P = f(x_{2}) + f(x_{4}) + .... + f(x_{n−2}) es la suma de los valores pares de f(x), con x_{i} = a + ih. Programar el cálculo de la integral ∫_{0}^{1} e^{−x^{2}}dx con un error menor que 0.0001. Imprimir el resultado, y también h y la cantidad de puntos usados. Chequear el resultado usando gnuplot:

(i) graficar la función en el intervalo, y aproximar visualmente el área; (ii) calcular su valor.

4. Sea el desarrollo de Taylor del cos(x) en torno a cero:

P_{n}(x) = 1 − \frac{x^{2}}{2!} + \frac{x^{4}}{4!} − \frac{x^{6}}{6!} + .... + \frac{x^{n}}{n!}

|R_{n}(x)| ≤ \frac{|x|^{n+2}}{(n + 2)!}

a) Hacer un programa para que, dado un x, calcule cuántos términos de la serie son necesarios si se quiere que el error |R_{n}(x)| sea menor que 0.0001, y calcule luego P_{n}(x). Imprimir como resultado n y P_{n}(x) (con formato).

b) Idem a) pero en doble precisión. Utilizar una FUNCTION para el cálculo de factoriales.

• Analizar el resultado graficando el polinomio usado y cos(x) con gnuplot.

• Plotear el punto de interés.

5. Aproximación de raíces por Método Dicotómico a) Dada f(x) buscar dos puntos x_{n} y x_{p} donde f(x) tenga signos diferentes.

b) Calcular el punto medio x_{m} = (x_{n} + x_{p})/2

c) Evaluar f(x_{m}),

d) Si f(x_{m}) = 0 es la raíz, sino hacer x_{p} = x_{m} en caso de que el signo de f(x_{m}) sea igual al de f(x_{n}), o x_{n} = x_{m} en caso contrario.

e) Volver a b) y si el valor |x_{p} − x_{n}| < ϵ imprimir el valor aproximado de la raiz x_{m}. Hallar raíces de los siguientes polinomios, buscando x_{n} y x_{p} iniciales graficando con gnuplot.

i) f(x) = x^{3} + x^{2} − 37x + 33 ii) f(x) = x^{2} − sin x

6. Aproximación de raíces por Método Regula Falsi El método de la Regula Falsi permite calcular las raíces, mediante la fórmula:

x_{n+1} = \frac{f(x_{n}) ∗ x_{n−1} − f(x_{n−1}) ∗ x_{n}}{f(x_{n}) − f(x_{n−1})}

siendo x_{n+1} la raíz en la iteración n − 1. Escribir un programa para encontrar las raíces de f(x) = cosh(x) − 2x, con un error ϵ < 0.0001 (|x_{n−1} − x_{n}| < ϵ). Hallar los dos puntos iniciales de arranque graficando. Imprimir el valor de la raíz y la cantidad de iteraciones en cada caso (con formato).

7. Rehacer el ejercicio 3 de la Práctica 3, si el vector B se halla guardado en el archivo p3e3in.dat.

8. Rehacer el ejercicio 4 de la Práctica 3, si la matriz A^{n×m} se halla guardada en el archivo p3e4in.dat.

9. Rehacer el ejercicio 5 de la Práctica 3, si la matriz KA(N, N) debe leerse del archivo p3e5in.dat.

10. Rehacer el ejercicio 6 de la Práctica 3, leyendo los valores f(i) del archivo p3e6in.dat.