\documentclass[11pt,twoside,a4paper,spanish]{article}
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\newcommand{\vect}[1]{\mathbf{#1}}    % Notación vectorial negrita
% ------------------------------
\begin{document}
\begin{center}\textbf{COMPUTACIÓN 2003 -- ASTRONOMÍA}\end{center}
\begin{center}\textbf{PRACTICA 2b}\end{center}
\bigskip

\begin{enumerate}

\item La distribución binomial está dada por
\begin{align*}
b(x) = \begin{pmatrix} n \\  x \end{pmatrix} p^x q^{n-x}
\intertext{en donde}
\begin{pmatrix} n \\  x \end{pmatrix} = \frac{n!}{x!\, (n-x)!}
\end{align*}
$n$ y $x$ son enteros positivos con $n \ge x$ y $p=1-q$.

Dados $n$, $x$ y $p$ escribir un programa que calcule $b$. Qué sucede con
algunos valores grandes de $n$ \'o $x$ ?


\item Una manera de calcular la función arco seno es utilizar
el desarrollo en serie:
\begin{displaymath}
\arcsin x = x + \frac{x^3}{2\cdot3}
        + \frac{1\cdot3 x^5}{2\cdot4\cdot5}
        + \frac{1\cdot3\cdot5 x^7}{2\cdot4\cdot6\cdot7}
        + \ldots 
\end{displaymath}       

Esta serie puede evaluarse directamente, calculando cada término, o
bien, la serie puede escribirse como:
\begin{displaymath}
\arcsin x = x \left( \frac{1}{1} +
         \frac{1x^2}{2} \left(
         \frac{1}{3}+\frac{3x^2}{4} \left(
         \frac{1}{5}+\frac{5x^2}{6} \left(
         \frac{1}{7}+ \ldots \right)\right)\right)\right)
\end{displaymath}

lo cual implica mucho menos aritmética para el mismo número de
terminos. El único problema, con respecto a la primer serie, es que se
necesita saber con anterioridad cuantos términos van a evaluarse.

i) Escribir un programa para calcular la primer serie.

ii) Hacer lo mismo para la segunda.

iii) Utilizar los programas para calcular $\pi$ (usar
$x=0.5,\sqrt{2}/2,\sqrt{3}/2$). Se puede evaluar cuál es el
método más rápido para llegar a una precisión deseada,
digamos todas las cifras significativas en simple precisión?

\item Un número entero positivo $p$ se dice $primo$ si los únicos
  divisores que admite son el 1 y $p$.
  \begin{enumerate}
  \item Construir un programa que genere los $N$ primeros números
    primos positivos, donde $N$ es ingresado por el usuario. Note que
    el único primo par es el 2, así pues no necesita testar si un
    número par mayor que 2 es primo.
  \item Es sabido que un número entero positivo $n$ distinto del 1
    \emph{no} es primo si y solo si es divisible por un primo p tal
    que $p \le [\sqrt{n}]$ donde $[x]$ denota la parte entera de $x$.
    
    Utilice esta propiedad para diseñar un algoritmo que determine
    los primeros $N$ números primos positivos (\emph{criba de
    Eratóstenes}). Construya el programa y evalue su rapidez
    comparándolo con el del punto anterior.
  \end{enumerate}

\end{enumerate}

\end{document}

