COMPUTACIÓN 2003 – ASTRONOMÍA

PRACTICA 2b

1. La distribución binomial está dada por

b(x) = (\begin{matrix}n \\ x \end{matrix}) p^{x}q^{n−x}

en donde

(\begin{matrix}n \\ x \end{matrix}) = \frac{n!}{x! (n − x)!}

n y x son enteros positivos con n ≥ x y p = 1 − q.

Dados n, x y p escribir un programa que calcule b. Qué sucede con algunos valores grandes de n ó x ?

2. Una manera de calcular la función arco seno es utilizar el desarrollo en serie:

arcsin x = x + \frac{x^{3}}{2 · 3} + \frac{1 · 3x^{5}}{2 · 4 · 5} + \frac{1 · 3 · 5x^{7}}{2 · 4 · 6 · 7} + …

Esta serie puede evaluarse directamente, calculando cada término, o bien, la serie puede escribirse como:

arcsin x = x (\frac{1}{1} + \frac{1x^{2}}{2} (\frac{1}{3} + \frac{3x^{2}}{4} (\frac{1}{5} + \frac{5x^{2}}{6} (\frac{1}{7} + …))))

lo cual implica mucho menos aritmética para el mismo número de terminos. El único problema, con respecto a la primer serie, es que se necesita saber con anterioridad cuantos términos van a evaluarse.

i) Escribir un programa para calcular la primer serie.

ii) Hacer lo mismo para la segunda.

iii) Utilizar los programas para calcular π (usar x = 0.5, \sqrt{2}/2, \sqrt{3}/2). Se puede evaluar cuál es el método más rápido para llegar a una precisión deseada, digamos todas las cifras significativas en simple precisión?

3. Un número entero positivo p se dice primo si los únicos divisores que admite son el 1 y p.

(a) Construir un programa que genere los N primeros números primos positivos, donde N es ingresado por el usuario. Note que el único primo par es el 2, así pues no necesita testar si un número par mayor que 2 es primo.

(b) Es sabido que un número entero positivo n distinto del 1 no es primo si y solo si es divisible por un primo p tal que p ≤ [\sqrt{n}] donde [x] denota la parte entera de x. Utilice esta propiedad para diseñar un algoritmo que determine los primeros N números primos positivos (criba de Eratóstenes). Construya el programa y evalue su rapidez comparándolo con el del punto anterior.