MPP: Prácticas
$\def\ga{g^{\text{anomalía}}}$ $\def\go{g^{\text{obs}}}$ $\def\gm{g^{\text{modelo}}}$ $\def\CAL{\textrm{CAL}(h)}$ $\def\CB\{\textrm{CB}(h)}$
Calcule con qué precisión debe conocerse la cota de un punto para determinar en el mismo la anomalía gravimétrica con un error ${\Delta}g \leq 0.01$ mGal.
Expresamos la anomalía gravimétrica ($g^{\text{anomalía}}$) como
$$g^{\text{anomalía}}=g^{\text{obs}}+\textrm{CAL}(h)+\textrm{CB}(h)-g^{\text{modelo}},$$donde $\textrm{CAL}(h)=+{\alpha}h$, $\textrm{CB}(h)=-{\beta}h$, $h$ cota, y siendo $\alpha$ y $\beta$ las constantes para las correcciones de aire libre (CAL) y Bouguer (CB), respectivamente. Numéricamente, $\alpha=0.3086$ mGal/m y $\beta=0.1119$ mGal/m para $h$ en unidades de metros (m), obteniendo correciones en unidades de mGal.
El parámetro $\alpha$ proviene de suponer la Tierra como una esfera y de calcular la atracción de la gravedad a una distancia $R+h$ de su centro. Por último, recordemos que $\beta=\CB = 2\pi\mathcal{G}\sigma\approx 0.04191\sigma$, con $\mathcal{G}$ la constante de gravitación universal de Newton. Cuando la densidad $\sigma$ es un valor promedio de la densidad de la corteza terrestre (próximo a 2.67 g/cm$^3$), resulta $\beta=0.1119$ mGal/m.
Calculamos ${\Delta}\ga$ de la expresión de la anomalía para un dado ${\Delta}h$, resultando
$${\Delta}\ga=(\alpha-\beta){\Delta}h.$$Como se pide que ${\Delta}g_{\text{a}}<T$, para una cierta tolerancia $T$, se despeja el resultado:
$${\Delta}h < \dfrac{T}{(\alpha-\beta)}.$$En el Ejercicio, la tolerancia es $T=0.01$ mGal. Reemplazando los valores numéricos obtenemos ${\Delta}h<0.05$ m. Es decir, la cota se debe conocer con una precisión menor al decímetro.
En Python podemos escribir
T = 0.01 # mGal
alpha = 0.3086 # mGal/m
beta = 0.1119 # mGal/m
dh = T / (alpha-beta) # m
print("La cota se debe conocer con una precisión menor a", ,round(dh,2), " m")
para obtener, a dos decimales significativos, dh = 0.05 m.
#2*3.14*6.67*2.67*1E-3 # mGal/m
#2*3.14*6.67*1e-3 #
T = 0.01 # mGal
alpha = 0.3086 # mGal/m
beta = 0.1119 # mGal/m
dh = T / (alpha-beta) # m
print("La cota se debe conocer con una precisión menor a",round(dh,2), " m")
Nos tomamos un momento para planificar y escribir definiciones personalizadas de $\LaTeX$.
$\def\ga{g^{\text{anomalía}}}$ $\def\go{g^{\text{obs}}}$ $\def\gm{g^{\text{modelo}}}$ $\def\CAL{\textrm{CAL}(h)}$ $\def\CB{\textrm{CB}(h)}$
$\def\ga{g^{\text{anomalía}}}$
$\def\go{g^{\text{obs}}}$
$\def\gm{g^{\text{modelo}}}$
$\def\CAL{\textrm{CAL}(h)}$
$\def\CB{\textrm{CB}(h)}$
Estas definiciones nos permitirán reutilizar código, ahorrar tiempo, reducir errores de tipeo o de nomenclatura y contribuir hacer la vida más sencilla.
Por ejemplo, ahora podemos escribir
$\ga = \go + \CAL + \CB - \gm.$$
Lo que resulta en $\ga = \go + \CAL + \CB - \gm.$
¿Qué pasara si definimos? $\def\CB{\beta h}$
$\def\CB{\beta h}$
¿O si definimos CB por medio de? $\def\CB{2{\pi}G\sigma}$
$\def\CB{2{\pi}G\sigma}$
Eso es todo por hoy.